>海外への販路を考えています。商品名とブランド名を繋げたデザイン文字で国内商標登録申請中ですが

海外で万が一商品名のみの類似模倣が出てきた場合、効力はありますか？

これは残念ながら効力はありません。日本国内で発生した商標権は日本国内にしか効力がないので、海外で模倣品が出たとしても日本国内の商標権によって何かできることはありません。海外への商標登録をご検討されたほうがよいと思います。